Practice

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2015年3月19日 星期四

消色差鏡頭的一些基本數學閱讀心得

我不僅方向感差, 數學也不怎麼靈光, 在這段霧濛濛沒星可看的春天時節, 只好繼續翻翻書解悶, 現在悶到連書上的算式都認真在看了, 雖然應該都是非常基本的數學啦, 不過對自己而言還是霧濛濛的, 但這回好像多看懂了些, 怕忘掉, 所以趕緊筆記下來. 另一方面也因為最近回頭看之前的筆記, 覺得這樣亂寫一通很不好意思, 應該要想辦法改進才是, 可是想半天也不知道該從哪下手? 考慮再三之後, 決定寫過新的好了, 舊筆記上就不修改, 當作學習的經驗或歷程. 底下跟著作者 Roger Ceragioli 的步調, 筆記終於 "稍微" 看懂一點如何設計單片透鏡並能把星點成像範圍控制在 airy disk 內, 以及 2 片式消色差設計很基本的一些數學原理.

薄透鏡有一些基本定理, 這些在 wiki 上都有... 如果連我都看得懂的話相信絕大部分同好一定看得懂的. 那就先看單片透鏡的設計... 有省略掉一些太細節的解釋, 當然也還有些目前仍然似懂非懂的部分... 先從所謂的 "造鏡者公式" (Lens maker's formula) 開始好了.

1/f = (n-1)(1/r1 - 1/r2)
這裏 f 是透鏡的焦距; n 是透鏡玻璃的折射率; r1 與 r2 則是透鏡兩面的曲率半徑 (radii).

簡化一下, 用這片透鏡的整體曲度 c, 來代表 (1/r1 - 1/r2) 好了, 所以造鏡者公式可以簡化為:

1/f = (n-1)c
這個 1/f 就是屈光度, 或者口語上說的 "len's power".

因為透鏡上的各顏色光譜折射率都不同 (但可以看作連續的), 所以如果要看不同顏色光譜的不同焦距的話, 先來微分一次,

df/(f^2) = c*dn
我的微積分早就忘光光了, 只好 google 了一下 "分數如何微分", 如果我的理解沒錯的話, 1/f 的微分應該是 [(f*1') - (1*f')] / f*f  = - df/f^2... 所以應該是負的呀? 還是正負不重要?

看可見光範圍就好, 所以範圍取從 F (藍光 H-beta: 486nm) 到 C (紅光 H-alpha: 656nm), 因此:

dn = n.F - n.C

帶到前面那條式子,

df/f^2 = c(n.F - n.C)


我們希望最後算出的結果, 能夠輕易在廠商的玻璃型錄規格上找到, 所以想辦法來用 abbe 數 V 替代進去, 因此我們在等式右邊乘上一個不痛不癢的: (n.e - 1)/(n.e - 1), 其實就是乘以 1 啦, 這樣的話就變成:

- df/f^2 = [(n.F - n.C)/(n.e - 1)]*[(n.e - 1)c]
這個... 等式左邊幹嘛變負的? 嗚嗚嗚... 第一個還沒看懂的地方... 除非前面我的微分算法才對?


到這裏要暫停, 先提一個玻璃的重要光學特性: 色散, 設計師通常都看其倒數 V, 或叫阿貝數. 不過 V 也是一個 "代表" 值... 說 "代表" 是因為各顏色光譜的阿貝數也是不同啊. 因此當我們有特定要調哪種顏色或哪一段顏色時, 就應該考慮 "相對色散 relative dispersion" 或 "部分色散 partial dispersion", 而不是單單一個色散值了.

相對色散 relative dispersion: w = (n.short - n.long)/(n.middle - 1),
阿貝數是倒過來的, 所以 V = (n.middle - 1)/(n.short - n.long),
假設要看 466.8 的 d 線, V = (n.d - 1)/(n.F - n.C) ---> 為什麼要舉 d 線當例子? 我也不知道... 不過這對理解沒什麼差.

部分色散 partial dispersion 有點不同, 它要比較不同的 2 條線: P.short, long = (n.short - n.long)/(n.F - n.C),
所以假設要看 d ~ C 的部分色散的話: P.d, c = (n.d - n.C)/(n.F - n.C),


回到暫停前的: - df/f^2 = [(n.F - n.C)/(n.e - 1)]*[(n.e - 1)c]
根據剛剛相對色散的定義來看 e 線, w = (n.F - n.C)/(n.e - 1) = 1/V.e
以及最前面提到的造鏡者公式 (n.e - 1)c = 1/f.e
現在要利用這兩個公式帶進去,

倘若只看從 F 到 C 的可見光在光軸的縱向上 (Longitudinal) 的焦距散佈範圍為 2Δf, 那麼:

2Δf = f.F - f.C = f.e / V.e
說我數學爛就是爛在這裡啦...
我可以理解到 - df/f^2 = (1/f.e)*(1/V.e); 但為何能轉換成 f.e / V.e ? 不解不解...

總之算到這裏的目的是要了解從 F 到 C 的可視光沿著光軸上縱向的色差程度, 而且是僅用透鏡的焦距與阿貝數表達出來.

看來還是得貼張圖幫忙了解 Δf 與 Δh,



假設我們的透鏡 e 線焦距是 15 公尺 (15000 mm)... 別感到意外喔, 當年單片透鏡的折射鏡世界, 若想要好一點的光學品質口徑又要夠大, 15 公尺還算短咧. 我們選用 K5 玻璃, 其阿貝數 V.e 查目錄是59.22, 因此 2Δf = 15000/59.22 = 253mm. 意思是紅光與藍光各對到焦的距離, 彼此相距 25.3 公分.  看看上圖, Δh 是 e 線對到焦的位置, 其它顏色線對不到, 所以就是失焦狀態的模模糊糊, 這個圍起來模模糊糊的一圈叫做 blur, 也就是我們在 transvers ray fan 圖上看到 y 軸的值. 所以如果把 blur 的面積控制在 airy disk 內, 這個範圍內繞射現象主宰一切, 所以肉眼就察覺不到這個 blur 啦.

Δf, Δh 與從最邊邊射進來的光線圍成一個三角形, 所以專家很厲害的算出:

Δh/Δf = (d/2)/f.e
配合前面那個 2Δf = f.e / V.e; 得到:

2Δh = (1/(2V.e))*d

這個很有趣, 因為 f 都被消掉了, 意思是 blur 大小與焦距無關, 但跟口徑大小 (d) 正相關, 所以假設當其它條件都相同的情況下, 口徑越大, blur 面積就越大, 也就是品質越差啦. 如果我們把實際數字帶進去算, 假設一隻 4" 主鏡...

2Δh = d/2V.e = 100 / (2*59.22) = 0.84mm

接下來要來跟 airy disk 比一比了, 那麼 h 是 airy disk 直徑好了,

2h.airy = [2.44*(波長)*f.e] / d; 這邊波長用 e 線的 546.1 nm (0.0005461 mm), 那麼 blur (=2Δh) 要小於等於 2h.airy; 也就是:

2[d/(4*59.22)] 要小於等於 [2.44*(波長)*f.e] / d; 這樣就可以算出以 K5 玻璃的 f.e 要大於等於 6.3 * d平方, 這樣的單片透鏡折射鏡的星點成像才能控制在 airy disk 內. 可以算算看... 如果一隻 100mm 口徑主鏡, 其焦距將會是 63 "公尺" 左右, 驚人吧? 所以當時的天文台望遠鏡都長得不得了. 書上還有很多有趣的歷史回顧, 比如說牛頓先生當時宣稱玻璃的折射率是固定的, 因此這個問題無解啦, 大家都相信, 因而造就牛頓式反射鏡的蓬勃發展, 折射鏡的發展也因此停頓了幾十年... 其實書上寫的望遠鏡發展史真的很有趣.


那麼兩片式呢? 我是有看完啦, 不過數學式太多了, 就不要在筆記上班門弄斧, 貽笑大方.

基本上第一步還是要滿足:

1/F = 1/f.crown + 1/f.flint
而從單片式裡我們知道: 1/f = (n-1)c; 所以...

1/F.e = (n.e, crown -1)c.crown + (n.e, flint - 1)c.flint

因為兩片式消色差最重要的就是把 F 與 C 線的焦距拉在一起, 因此...

(n.F, crown - 1)c.crown + (n.F, flint - 1)c.flint 要等於:
(n.C, crown - 1)c.crown + (n.C, flint - 1)c.flint; 可以簡化為:
(n.F, crown - n.C, crown)c.crown + (n.F, flint - n.C, flint)c.flint = 0

別忘了前面 n, c 與 f, V 的換算, 所以又可以轉換成:

1/(f.e, crown * V.e, crown) + 1/(f.e, flint * V.e, flint) = 0; 再轉成更易懂的:

- f.e, flint/f.e, crown = V.e, crown/V.e, flint

接下來就要偷懶省略啦... 不過道理一樣, 然後會用到部分色散 partial dispersion: P 的式子來帶進去, 最後也同樣的在算 ΔF 與 Δh, 當然也一樣要套繞射公式.... 算出 (以 BK7 與 F2 玻璃規格去算):

f.e 要大於等於 0.41 * d平方 (mm); 雖然還是很驚人, 比如說 100mm 口徑的鏡子要有到 4.1 公尺的焦距 (f/41) 才會沒有色差, 不過這已經改善了單片式的 15.5 倍呢. 那... 還有辦法把焦距縮短嗎? 當然有, 最重要的就是玻璃, 尤其是阿貝數超過 90, 甚至 95, 98... 的超低色散玻璃, 不過那又是另外一堆故事了.

看了很多, 很想把消化過的都寫一遍, 可是... 怎麼可能這麼閒啊? 哈哈...




加入其它天文社團

加入天文社團當然有很多好處, 有同好可以問或討論問題, 還有許多資源可以利用, 不管是論文, 演講, 活動... 甚至討論版的精華區. 有些歷史悠久的社團可能還有名人可以沾光, 比如加入牛頓先生也曾加入過的英國天文協會, 哈哈~ 很酷吧? 而我最大的動因還是因為想參考社團裏的觀測 program, 認證是一回事, 但這些觀測 program 就像專家設計好有系統的觀測計劃, 然後自己可以按表操課, 不會像無頭蒼蠅般亂亂飛. 找了半天, 最後決定繳費加入加拿大的皇家天文社團 RASC... Roger Ceragioli 是這個社團成員, 之前在 BBC Sky at Night 寫素描專欄的 Carol Lakomiak 也是, 還有甘伯串珠的那位甘伯神父生前也是, 還有命名很多暗星雲的 E. E. 巴納德... 反正這些歷史悠久的社團就是有一堆偉人... ^^"

Join RASC
 

6 則留言:

  1. 看到微積分我就頭暈了XD

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    1. 我也是全部忘光光, 還得從網路上找中學的數學教材... ^^", 不然就要把計算結果當結論, 看看哪些變數是正相關或負相關這種程度就好, 哈哈~

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  2. 請問有沒有想過加入http://www.visualdeepsky.org/?

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    1. 謝謝萬兄的建議, 我會仔細看看, 不過時間有限, 目前可能應該停留在看看而已囉

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  3. 微積分不好就用高中數學,Telescope Optics第二十一章,導出過程比較冗長但簡單,微積分導出很簡短但需要較深的觀念,全部都是從造鏡者公式開始。

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    1. 多謝提示, 有人指點真是太好了... 找時間好好看一下, 不管如何相信應該至少會比 Vlad 寫的好理解, 謝謝啦~

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