評估雙筒望遠鏡效能的論點有很多種, 除了一般規格書會提到的 "微光(晨暮)係數" (T: Twilight Factor) 外, 最常被人提到的就是 A: Adler-Index 與 B: Bishop-Index.
Twilight Factor: T = (m * D)^1/2 ... "放大倍率" X "口徑", 然後開根號.
(既然是微光 Twilight, 此時 eye pupil <肉眼瞳徑> 大於 exit pupil <望遠鏡系統出瞳徑> 條件下)
Adler-Index: A = m*D^1/2... "放大倍率" X "口徑開根號"
Bishop-Index: B = m*D... "放大倍率" X "口徑"
先不論較複雜, 具視面積的天體目標之可視性, 對比. 以無限遠的點光源而言, 該期待雙筒鏡的極限星等是多少?
"星等" 或 "視星等", 是個 "相對" 概念, 古人把星星亮度分 1~6 等, 最亮的 (1) 與最暗的 (6) 差 100 倍, 這就是最基本的概念. 我們用 "b" 當 "亮度的差異" 好了.
b^5 = 100 (1 到 6 差 5 等)
所以 b = 100^(1/5), 工程計算機按一下, b = 2.512
所以差 1 等就是差 2.512^1 倍亮度; 差 2 等就是差 2.512^2 倍亮度... 差 5 等就是差 2.512^5 倍亮度, 就是差 100 倍.
那麼倒過來想, 如果 "亮度" 差 Y 倍, 是不是就可以知道可見的 "星等" 差多少呢? 假設前面三個公式都合理, 比較一下 15X56 與 10X42 兩隻望遠鏡的差異.
如果用 Twilight Factor, 15X56 的 T 是: 28.982; 10X42 的 T 是: 20.494,
28.982 / 20.494 = 1.4 (15X56 比 10X42 微光亮度差 1.4 倍)
所以 2.512^Y = 1.4; Y = log(1.4) / log(2.512) = 0.365,
也就是說, 依 Twilight Factor, 15X56 只比 10X42 雙筒鏡多看 0.365 等暗的星, 差不到 0.5 等.
依樣畫葫蘆, 如果依 Adler-Index, 差 0.596 等,
依最單純的 Bishop-Index 則差到 0.753 等.
準不準? 這可能要有大量的田野調查結果才能驗證, 畢竟上面三個指標的理論基礎都很薄弱, 也因此論壇中有不少老手會添加各種變數與權重, 想辦法做出更貼近實務的公式.
回到傳統計算望遠鏡極限星等的想法好了,
"傳統" 計算望遠鏡極限星等的公式:
極限星等 = 1.77 + 5 X Log(望遠鏡口徑)... 公式怎麼來的?
首先要定義望遠鏡的 "集光力",
集光力(G.L) 的定義是: "望遠鏡物鏡(D.o) 能接收到的光" 為 "肉眼睜最大時(D.e) 能接收到的光" 的多少倍? (人眼睜最大用 7mm 假設)
要用面積算, G.L = [Pi * (D.o/2)^2 ] / [Pi * (D.e/2)^2 ]; 簡化一下, G.L = (D.o/D.e)^2;所以, 簡單說集光力就是: “望遠鏡有效口徑” 除以 “眼睛(7mm)” 之後的平方倍.
這可以到日本望遠鏡販賣網站看看, 廠商的 "集光力" 數值都是這麼算出來的.
不過要注意的是, "集光力" 是 “相對值”, 所以並不是眼睛瞇小一點, 集光力就變高 (分母 D.e 小, G.L 就變大), 眼睛瞇小一點, “所有” 望遠鏡的集光力標準都一起提高, “相對起來” 還是一樣. 接下來我們把 "集光力差異" (望遠鏡 vs 肉眼) 轉換成 "星等亮度" 差異來表示,
回到前面 "星等差異" (G.mag) 的定義: (2.512)^(G.mag) = Y; Y 是 "亮度" 的差異.
Y 就是上面的 G.L = (D.o/D.e)^2, 對數指數轉換一下... (在此段下面說明 *****)
G.mag = Log (Y) / Log (2.512) = Log ((D.o/D.e)^2) / Log (2.512),
所以 G.mag = 2 X (Log(D.o) - Log(D.e)) 除以 Log (2.512), De 還是用 7mm 假設的話,
G.mag = 5 X Log(D.o) - 4.225 ... 這是 "集光力" 不同造成的 "星等差異",
假設當時肉眼可見極限星等是 6 等星 (大家很喜歡用這個假設),
該望遠鏡可見的極限星等就是 6 + G.mag, 這也就是傳統 1.775 + 5 X Log(D.o) 公式由來了.
***** 說明 *****
2.512^(G.mag) = Y
等式兩邊取 2.512 為底的對數 --> Log(2.512為底) 2.512^(G.mag) = Log(2.512為底) Y
等號左邊: Log(2.512為底) 2.512^(G.mag) 就是 = G.mag
等號右邊: Log(2.512為底) Y, 把它轉換成 10 為底的自然對數 --> Log (Y) / Log (2.512)
因此 G.mag = Log (Y) / Log (2.512)
為了這個國中數學, 還跑去問統計博士的同事, 差點沒被笑死 ^^"
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但如果觀測當時肉眼可見星等只到 4.5 等, 然後中年大叔 eye pupil 最大就只有 5mm 的話呢?
這又要多囉嗦一下了, 因為自己曾經搞混鬧過笑話...
eye pupil = 7mm 這個假設可以不改 (不需要改成 5mm 重新計算), 不然會變得很麻煩,
因為計算望遠鏡極限星等公式, 不管用哪種, 前提都應該是 Eye pupil = Exit pupil (瞳孔張開大小 = 目鏡出瞳徑), 也就是說 "肉眼可視極限星等 (6 等星)" 的話, D.e 就要用 "當時肉眼的出瞳徑的大小", 也就是 7mm. 如果 D.e 要用放大倍率以後, exit pupil 取代 eye pupil, 比如說 0.5mm 的話; 肉眼可視極限星等就不會是 6 等, 而是瞳孔張開 0.5mm 時 (其實人眼做不到) 可以看到的極限星等, 而眼睛瞇這麼小可能只看得到 0 等, 甚至負等星. 一來一往會互補掉.
但 "放大" 的效應可以用外加的方式補起來. 怎麼補呢?
參考 Vladimir 的 Amateur Telescope Optics 的結論, 同樣邏輯以對數表現出差異:
Δm (增或減的星等) = Log(E/X)^2, 簡化為 2Log(E/X)
(E 是 eye pupil; X 是 exit pupil)
最後回到傳統計算望遠鏡極限星等的公式, 修改一下變成:
(肉眼可見極限星等 - 4.225) + 5 X Log(望遠鏡口徑) + 2 X Log(eye pupil / exit pupil)
那麼試算一下:
以 15X 56mm 雙筒鏡而言, 昨晚中天肉眼能見最多就 4 等, 能看見的極限星等:
(4-4.225) + 5 X Log (56) + 2 X Log (7/3.73) = 9.063
因此, 從理論上應該看不見 9.5 等的巴納德之星, 況且還沒加上光學上鍍膜的光損呢.
10X 42mm 的話就是: 8.335
這個答案正確嗎? 不覺得完全正確, 就算不說 9.5 等的巴納德之星好了, 比對過一些 IC 4665 的星點, 有好幾顆 9.1 ~ 9.4 等的星星都有標對, 甚至有一顆巴納德之星附近, skysafari 標 9.9 等的暗星都在 avert vision下出現... 為什麼呢? 我猜差異可能是雙眼下的眼腦協調效應, 往往會大於單眼下的極限. 有一說是 15% ~ 28% 增益.
就自己的實務經驗而言, 我認為這個公式還算可靠, 其實有經驗與沒經驗的觀測者也會差很多, 不要在 "極限" 的問題上鑽牛角尖的話, 我會相信它算出來的結果.
昨晚重新再畫一次 Barnard's Star 附近星野,
既然已經知道位置, 昨晚就沒帶手機, 看到什麼就畫什麼, 最後再來比星點, 算是一種盲測試.
首先, 肉眼星等應該超過 4.5, 因為找西面紗時那顆指標星 52 Cyg 看得很輕鬆, 它是 4.2 等. 下面那顆 lambda Cyg. 4.6 等也很 OK.
然後 9.5 等的 Barnard's Star 望遠鏡下也非常清楚, 穩穩的出現, 帶暗紅色. 上圖左側靠近 66 蛇夫那顆 9.9 等星也能穩定出現, 不是像很拼時會閃爍... 偶而會消失那種. 有些 "星" 其實是雙星, 其亮度會加強, 也有一顆是變星, 不過我沒去查週期.
套上面的公式才發現... 原來雙筒鏡的話, 變數其實只有一個, 就是肉眼星等. 如果肉眼星等 4.0 算出來的極限星等是 9.063 的話, 加 1 等 (肉眼星等 5 等), 結果就變成 10.063, 所以看到 9.5 等的巴納得逃跑星其實一點也不稀奇呀.
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