對比與解像力的繼續閱讀心得 -- 反射或折反射鏡的副鏡遮蔽竟也有好處

********* 2016-9-06 update ***********
這兩天因為在翻 Star Testing (Harold Richard Suiter) 的書, 重新又看了 contrast 與 resolution 的關係, 才發現寫這篇時誤解還真多 >"<... 不過, 就外行人的筆記嘛, 人總會越學越多, 所以就不大改了, 僅在錯得太離譜的地方加註解就好, 搞不好以後又再看了什麼書, 然後又再改 ^^"
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下雨天就是讀書天, 這兩天讀的是號稱聖經之一 Rutten 與 Van Venrooij 的 Telescope Optics, 關於解像力 (Resolution Power) 與對比 (Contrast) 的第 18 章.

大家都說很經典的一本書

之前也曾經亂七八糟筆記了一堆有關對比, 解像力, 銳利, 亮度... 等等目視感受的心得, 但總還是覺得難以連貫透徹, 老是有 "差了那麼一點" 的感覺:

望遠鏡放大倍率以增加對比的迷思
目視天文的一些簡單閱讀筆記
有關目鏡一些簡單閱讀筆記
星系的觀測亮度與大小
夜空觀測品質 -- Sky Quality (Meter)

同好間也有像 Gleeman 兄很厲害的閱讀心得
而這幾天比較認真讀完後, 又有了不同體會, 所以還是老習慣筆記一遍, 重新整理整理思緒, 並加深點印象. 這篇會比較偏重於所謂 "有面積延伸" 的目標 (Extended Object).

講到解像力, 很多人直接想到的都是 "點光源", 萊利極限, 拆解雙星能力... 其實 "有面積延伸" 的目標, 比如說行星, 月面... 同樣是很重要的解像力課題, 而且更加複雜多變.

事實上對於暗淡, 低對比的面積延伸性目標... 例如行星細節, 至今也還沒什麼準確, 或很有意義的解像力公式算法. 很多其它因素, 比如照明亮度, 目標本身的對比, 像差, 放大倍率, 甚至人眼對比識別的門檻... 在在都會影響到解像力. 甚至可以這麼說, 或者至少應該謹記, 思考這些 "結論" 時都別忘了, 結論往往都是站在許多 "假設" 與 "條件" 下的展現, 比如說... "完美的寧視度", "沒有像差"... 的條件下, 該結論才會成立. 然後在真實的世界裏, 這些 "結論" 也許幾乎不會存在呢.

解像力 (Resolution):

我們熟知的點光源解像力公式是:
(底下都用綠光, 波長 λ= 555nm 做假設)

點光源解像力 SA = λ/ D 單位是 radians,  換算一下 = 206265 * λ/ D 單位變 arcseconds,
如果是主鏡口徑為 100 mm, SA = 206265 * 5.55 * 10^-4 = 1.14 arcseconds.

這 1.14 弧秒角就是我們熟悉以 4" 鏡拆兩顆等亮雙星時的分解能力.

那麼所謂 "有面積延伸性目標" 的解像力用什麼表示?
是用黑白相間的直條紋, 每 mm 範圍內能分辨出幾對黑白條紋? line pair/per mm. 也就是人家講的線性分解能 (linear resolving power), 所以:

線性分解能 SL = D / (f *λ) 單位是 lp/mm, f/D 是焦比, 我們以焦比為 10 來試算,
SL = 1 / (10 * 5.55 * 10^-4) = 180 lp/mm

從公式看, 線性分解能 SL 與 SA 不同, SL 跟口徑沒有直接關係, 而是焦比.

"線" 是由 "點" 組成的, 所以每條 "線" 都是無數的 "點" 的 airy disk 重重疊疊而生, 更別說是一個 "面" 啦, 況且每個 "點" 的亮度還不盡相同, 這些數學上是無限多的 "點" 的 airy disk 互相干擾, 形成極端複雜難解的表面亮度... 或對比.

假設 "面" 或 "線" 上所有 "點" 亮度都一樣的話, 整體表面上的明暗都會被互相干擾抵消掉, 也就是說分不出明暗, 統一亮度, 只剩下 "邊緣" 存在模糊不銳利, 軟軟的線條存在. 這在很久以前筆記, 為什麼小口徑可以查覺到土星的卡西尼縫時有提到一些.

所以我們會發現, 黑線條在明亮的白背景下會顯得有點灰灰的, 而白線條在黑色背景下會顯得有點變寬的感覺, 特別當線條與線條的間距密到趨近於 airy disk 的直徑時. 因此我們可以想像, 分解能衝到越大, 也就是線條與線條間距密到趨近 airy disk 直徑, 目標就就越模糊, 終致於完全辨識不出.

那麼分解能是否跟對比有一定的關係?

是的,  1946 年把傅立葉轉換應用至光學上的法國物理學家 Pierre-Michel Duffieux 先生, 發展了一套光學系統對比的轉移概念, 後人則利用特殊光柵設備, 量測目標於光學系統前及後的能量分布, 進而推算其分別單獨的對比, 最後再互做比較, 如下圖所示:
 

參考 Rutten 與 Van Venrooij 的 Telescope Optics 一書







我們定義目標的 "對比" 如上圖, 假設目標為相連能量密度不同的兩塊, 一塊是 I1, 另一塊是 I2. 那麼其 "對比" 就是:

 

C = (I1 - I2) / (I1+I2); 如果 I1 > I2 的話, 對比一定介於 0 到 1 之間.

 

假設目標能量密度不同的兩塊介於極端最大最小的 0~1 間, 那麼 C = (1-0)/(1+0) = 1

 

假設通過光學系統成像後, 其能量密度不同的兩塊介於 0.33 ~ 1 間, 那麼 C = (1-0.33)/(1+0.33) = 0.5

 

那麼前面兩者的比值 C.image / C.object 被稱作 "對比移轉係數" CT (Contrast Transfer coefficient); 以前面兩個假設為例, CT = 0.5/1 =0.5; 也就是 50%.

 

 

前面提到的對比與解像力的關係, 透過實驗量測就會畫成下圖 a 的樣子, 這是實驗室嚴格控制各項變數下呈現最理想的情況, 大致上沒錯, 當解像力越來越高, 線條與線條間距密到趨近 airy disk 直徑, 對比也逐步下滑, 最終模糊不清.

 

當然當光學系統存在像差沒如此理想, 甚或有內反射存在時, 就會變成下圖的 b 與 c 圖. 這個圖叫作 CTF (contrast transfer function), 也有人稱它為 MTF (mudulation transfer function), 或 OTF (optical transfer function). CTF 很好用, 因為把受量測的光學系統結果畫上去, 就可以與理想狀況比一比, 從而得知其品質狀況.

參考 Rutten 與 Van Venrooij 的 Telescope Optics 一書

那麼實務上可以看出什麼? 例如很多人講: 反射鏡或折反射鏡前有次鏡或支架遮蔽, 因此 "對比變差", 那麼, 有多嚴重?




參考 Rutten 與 Van Venrooij 的 Telescope Optics 一書

這張圖是有點複雜, 我看了好久才有點懂說...

CTF 圖表達 contrast 與 resolution 之間的關係, 了解它們之間關係之後, 就可以試著控制其中之一, 然後觀察另外一個.

比如說: 當 contrast 一樣時, 兩者的 resolution 有何不同? 或者倒過來, 當 resolution 一樣時, contrast 有何不同?

前例比較直覺, 因為就找不同 contrast 的天體目標比較兩者的 resolution 就好了; 後例則比較抽象, 因為要如何控制 resolution 呢? 所以我猜… 猜的喔... “變化放大倍率”, 因為依據 SL 的定義想像, 當單位面積放大觀察時, "理論上"就可以看見更多對條紋才對, 除非條紋密集到接近 airy disk相互干擾, 並嚴重到影響分辨為止. 想想我們的經驗裏, 倍率一直放大, 的確 contrast 就越來越差, 符合 CTF 的關係.

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以現在的理解, 我會把 "放大" 這件事從這邊拿掉. 書上一再強調 "整體系統" 的目視結果, 整體包含 "觀測目標本身的對比", 人眼以及其它配件的解像力極限...  這裏很單純只是要說明針對不同對比的觀測目標 (比如雙星是對比度很高的目標, 行星表面是對比度很低的目標... ), 那種鏡子(或有什麼不同條件的鏡子) 的解像力較高而已, 不要鑽牛角尖在 line pair/mm 上一直被那些黑白線條盤據腦海, 那不過就是一種單位.
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回到上圖, n 是主鏡的被遮蔽率, n=0 就是無遮蔽, n=0.4 就是 40%, 蠻多折返鏡都接近這個數字. 大多數情況, 看線1, 2; 相同解像力下, 有遮蔽的鏡子的對比都會比無遮蔽的差, 符合大家講的. 不過以 40% 遮蔽率為例, 高解像力情況下 (ex. 120 lp/mm 以上), 40% 中央遮蔽的鏡子的 contrast 竟然高於無遮蔽的鏡子?

線 1,2 與線 3,4 這兩組都是描述同口徑, 同焦比下中央無遮蔽與 40%中央遮蔽兩隻鏡子 performance 的 CTF. 有何不同? 這要回到 contrast 的數學定義,

如果目標透過光柵儀器的量測, 其能量分佈正弦圖, 波峰到波谷是從 0~1, 對應 contrast 就是 0% ~ 100%, 那麼我們就要看線 1,2. 比如說: 雙星.

如果目標的能量分佈量出來, 最高就只有 10%, 那麼我們就看線 3,4. 比如說: 對比很低的行星表面細節.

至於線5, 6 是人眼能辨識的最小 contrast 門檻.

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MTF 或 CTF 從定義 (C = (I1 - I2) / (I1+I2)) 可知, 簡單說就是經過鏡頭轉換後, "成像" 比 "原像" 損失的百分比, 這個因素很多, 所以才會用一個函式 ( f(x) ) 來表示... 也許不只 "x" 啦. 比如說, 對人眼而言, "亮度" 當然是因素之一, 所以線5, 6 是人眼對亮目標與暗目標的 "最低對比率" 要求. 如果以對比率很低的目標 (線 3,4 時) 來看, 在 H 點 (約 70 lp/mm) 之前, 兩種鏡子都看不到 (什麼都分解不出); G 點之後 (約 97 lp/mm) 之後, 遮蔽率為 0 的那隻才有分解能; P' 點之後 (約 117 lp/mm) 之後, 兩隻才都有分解能.
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現在結合 “鏡頭” 與 “人眼”… 所以我們看 1, 2 與 5, 6 的相交點對應的 resolution (比如雙星); 或 3, 4與 5, 6 的相交點對應的 resolution (比如行星表面細節).

 

所以... 像: 看雙星時, 在雙星目標 contrast 20% 以下… 這樣講比較抽象, 因為想像不到 contrast 20% 是怎樣?; 倒過來講, 在放大倍率超過某種程度 (到達 resolution > 120 LP/mm) 後, 40% 中央遮蔽鏡子目視的 contrast 會稍稍比無中央遮蔽的鏡子好 (A>B; E>F). 這就是標題寫的那個 "反射或折反射鏡的副鏡遮蔽竟也有好處", 哈~ 其實仔細看 "有中央遮蔽" 的鏡子的星點 airy pattern 能量分布圖, 會發現其集中在盤面的能量比 "無中央遮蔽" 的鏡子的低; 因此對比一定較差, 但其盤面直徑也比較小, airy disk 面積小, 當然就比較好拆分雙星, 也就是 resolution 較高囉.

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其實上面那段不需要用到 "放大" 這件事來說明; 而 "中央遮蔽的鏡子airy disk 盤面比較小" 這件事讓我頗為意外, 不過這是專家算出來的應該不會錯, 書裏引述一個表, 分別以 0% 遮蔽率, 25% 遮蔽率, 50% 遮蔽率作比較, Airy Disk Diameter 分別是: 280, 262, 230 (單位是 arcsec-mm); 不過能量分佈也會有所改變, 遮蔽率越高分散在其它環的能量就會越大, airy disk 則較小. 所以用此觀點解釋就夠啦: 遮蔽率大, airy disk 小, 當然拆雙星就較容易了, 如果對照圖表... 拆 "相同" 雙星目標 (contrast % 一樣), 看線 5, 遮蔽率大的鏡子的 resolution 就會較高 (可以分辨更多對黑白線條).
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但在看contrast < 10% 的行星表面細節時, 不管目標是很亮 (線 6, 看 C, D) 或很暗的 (線 5, 看 G, H), 無中央遮蔽鏡子的 resolution 一定遠勝於40% 中央遮蔽鏡子 (G>H; C>D), 也就是看得到更多細節 (但不一定清晰, 應該是很模糊, 但卻分辨得出)

其實書上還有舉很多有實際量測的例子說明, 比如說很亮的目標, 或對比反差很大的情況下, 其實遮蔽率影響解像力的效果非常有限; 又如 30% 遮蔽率的 CTF 與 1/4 λ 精度主鏡的影響差不多, 因此我猜 30% 遮蔽率應該就是一個目視需求的選擇門檻... 很多很有意思的東西真想全部記下來, 不過打字實在很累呀.