消色差鏡頭的一些基本數學閱讀心得

我不僅方向感差, 數學也不怎麼靈光, 在這段霧濛濛沒星可看的春天時節, 只好繼續翻翻書解悶, 現在悶到連書上的算式都認真在看了, 雖然應該都是非常基本的數學啦, 不過對自己而言還是霧濛濛的, 但這回好像多看懂了些, 怕忘掉, 所以趕緊筆記下來. 另一方面也因為最近回頭看之前的筆記, 覺得這樣亂寫一通很不好意思, 應該要想辦法改進才是, 可是想半天也不知道該從哪下手? 考慮再三之後, 決定寫過新的好了, 舊筆記上就不修改, 當作學習的經驗或歷程. 底下跟著作者 Roger Ceragioli 的步調, 筆記終於 "稍微" 看懂一點如何設計單片透鏡並能把星點成像範圍控制在 airy disk 內, 以及 2 片式消色差設計很基本的一些數學原理.

薄透鏡有一些基本定理, 這些在 wiki 上都有... 如果連我都看得懂的話相信絕大部分同好一定看得懂的. 那就先看單片透鏡的設計... 有省略掉一些太細節的解釋, 當然也還有些目前仍然似懂非懂的部分... 先從所謂的 "造鏡者公式" (Lens maker's formula) 開始好了.

1/f = (n-1)(1/r1 - 1/r2)
這裏 f 是透鏡的焦距; n 是透鏡玻璃的折射率; r1 與 r2 則是透鏡兩面的曲率半徑 (radii).

簡化一下, 用這片透鏡的整體曲度 c, 來代表 (1/r1 - 1/r2) 好了, 所以造鏡者公式可以簡化為:

1/f = (n-1)c
這個 1/f 就是屈光度, 或者口語上說的 "len's power".

因為透鏡上的各顏色光譜折射率都不同 (但可以看作連續的), 所以如果要看不同顏色光譜的不同焦距的話, 先來微分一次,

df/(f^2) = c*dn
我的微積分早就忘光光了, 只好 google 了一下 "分數如何微分", 如果我的理解沒錯的話, 1/f 的微分應該是 [(f*1') - (1*f')] / f*f  = - df/f^2... 所以應該是負的呀? 還是正負不重要?

看可見光範圍就好, 所以範圍取從 F (藍光 H-beta: 486nm) 到 C (紅光 H-alpha: 656nm), 因此:

dn = n.F - n.C

帶到前面那條式子,

df/f^2 = c(n.F - n.C)


我們希望最後算出的結果, 能夠輕易在廠商的玻璃型錄規格上找到, 所以想辦法來用 abbe 數 V 替代進去, 因此我們在等式右邊乘上一個不痛不癢的: (n.e - 1)/(n.e - 1), 其實就是乘以 1 啦, 這樣的話就變成:

- df/f^2 = [(n.F - n.C)/(n.e - 1)]*[(n.e - 1)c]
這個... 等式左邊幹嘛變負的? 嗚嗚嗚... 第一個還沒看懂的地方... 除非前面我的微分算法才對?


到這裏要暫停, 先提一個玻璃的重要光學特性: 色散, 設計師通常都看其倒數 V, 或叫阿貝數. 不過 V 也是一個 "代表" 值... 說 "代表" 是因為各顏色光譜的阿貝數也是不同啊. 因此當我們有特定要調哪種顏色或哪一段顏色時, 就應該考慮 "相對色散 relative dispersion" 或 "部分色散 partial dispersion", 而不是單單一個色散值了.

相對色散 relative dispersion: w = (n.short - n.long)/(n.middle - 1),
阿貝數是倒過來的, 所以 V = (n.middle - 1)/(n.short - n.long),
假設要看 466.8 的 d 線, V = (n.d - 1)/(n.F - n.C) ---> 為什麼要舉 d 線當例子? 我也不知道... 不過這對理解沒什麼差.

部分色散 partial dispersion 有點不同, 它要比較不同的 2 條線: P.short, long = (n.short - n.long)/(n.F - n.C),
所以假設要看 d ~ C 的部分色散的話: P.d, c = (n.d - n.C)/(n.F - n.C),


回到暫停前的: - df/f^2 = [(n.F - n.C)/(n.e - 1)]*[(n.e - 1)c]
根據剛剛相對色散的定義來看 e 線, w = (n.F - n.C)/(n.e - 1) = 1/V.e
以及最前面提到的造鏡者公式 (n.e - 1)c = 1/f.e
現在要利用這兩個公式帶進去,

倘若只看從 F 到 C 的可見光在光軸的縱向上 (Longitudinal) 的焦距散佈範圍為 2Δf, 那麼:

2Δf = f.F - f.C = f.e / V.e
說我數學爛就是爛在這裡啦...
我可以理解到 - df/f^2 = (1/f.e)*(1/V.e); 但為何能轉換成 f.e / V.e ? 不解不解...

總之算到這裏的目的是要了解從 F 到 C 的可視光沿著光軸上縱向的色差程度, 而且是僅用透鏡的焦距與阿貝數表達出來.

看來還是得貼張圖幫忙了解 Δf 與 Δh,

假設我們的透鏡 e 線焦距是 15 公尺 (15000 mm)... 別感到意外喔, 當年單片透鏡的折射鏡世界, 若想要好一點的光學品質口徑又要夠大, 15 公尺還算短咧. 我們選用 K5 玻璃, 其阿貝數 V.e 查目錄是59.22, 因此 2Δf = 15000/59.22 = 253mm. 意思是紅光與藍光各對到焦的距離, 彼此相距 25.3 公分.  看看上圖, Δh 是 e 線對到焦的位置, 其它顏色線對不到, 所以就是失焦狀態的模模糊糊, 這個圍起來模模糊糊的一圈叫做 blur, 也就是我們在 transvers ray fan 圖上看到 y 軸的值. 所以如果把 blur 的面積控制在 airy disk 內, 這個範圍內繞射現象主宰一切, 所以肉眼就察覺不到這個 blur 啦.

Δf, Δh 與從最邊邊射進來的光線圍成一個三角形, 所以專家很厲害的算出:

Δh/Δf = (d/2)/f.e
配合前面那個 2Δf = f.e / V.e; 得到:

2Δh = (1/(2V.e))*d

這個很有趣, 因為 f 都被消掉了, 意思是 blur 大小與焦距無關, 但跟口徑大小 (d) 正相關, 所以假設當其它條件都相同的情況下, 口徑越大, blur 面積就越大, 也就是品質越差啦. 如果我們把實際數字帶進去算, 假設一隻 4" 主鏡...

2Δh = d/2V.e = 100 / (2*59.22) = 0.84mm

接下來要來跟 airy disk 比一比了, 那麼 h 是 airy disk 直徑好了,

2h.airy = [2.44*(波長)*f.e] / d; 這邊波長用 e 線的 546.1 nm (0.0005461 mm), 那麼 blur (=2Δh) 要小於等於 2h.airy; 也就是:

2[d/(4*59.22)] 要小於等於 [2.44*(波長)*f.e] / d; 這樣就可以算出以 K5 玻璃的 f.e 要大於等於 6.3 * d平方, 這樣的單片透鏡折射鏡的星點成像才能控制在 airy disk 內. 可以算算看... 如果一隻 100mm 口徑主鏡, 其焦距將會是 63 "公尺" 左右, 驚人吧? 所以當時的天文台望遠鏡都長得不得了. 書上還有很多有趣的歷史回顧, 比如說牛頓先生當時宣稱玻璃的折射率是固定的, 因此這個問題無解啦, 大家都相信, 因而造就牛頓式反射鏡的蓬勃發展, 折射鏡的發展也因此停頓了幾十年... 其實書上寫的望遠鏡發展史真的很有趣.


那麼兩片式呢? 我是有看完啦, 不過數學式太多了, 就不要在筆記上班門弄斧, 貽笑大方.

基本上第一步還是要滿足:

1/F = 1/f.crown + 1/f.flint
而從單片式裡我們知道: 1/f = (n-1)c; 所以...

1/F.e = (n.e, crown -1)c.crown + (n.e, flint - 1)c.flint

因為兩片式消色差最重要的就是把 F 與 C 線的焦距拉在一起, 因此...

(n.F, crown - 1)c.crown + (n.F, flint - 1)c.flint 要等於:
(n.C, crown - 1)c.crown + (n.C, flint - 1)c.flint; 可以簡化為:
(n.F, crown - n.C, crown)c.crown + (n.F, flint - n.C, flint)c.flint = 0

別忘了前面 n, c 與 f, V 的換算, 所以又可以轉換成:

1/(f.e, crown * V.e, crown) + 1/(f.e, flint * V.e, flint) = 0; 再轉成更易懂的:

- f.e, flint/f.e, crown = V.e, crown/V.e, flint

接下來就要偷懶省略啦... 不過道理一樣, 然後會用到部分色散 partial dispersion: P 的式子來帶進去, 最後也同樣的在算 ΔF 與 Δh, 當然也一樣要套繞射公式.... 算出 (以 BK7 與 F2 玻璃規格去算):

f.e 要大於等於 0.41 * d平方 (mm); 雖然還是很驚人, 比如說 100mm 口徑的鏡子要有到 4.1 公尺的焦距 (f/41) 才會沒有色差, 不過這已經改善了單片式的 15.5 倍呢. 那... 還有辦法把焦距縮短嗎? 當然有, 最重要的就是玻璃, 尤其是阿貝數超過 90, 甚至 95, 98... 的超低色散玻璃, 不過那又是另外一堆故事了.

看了很多, 很想把消化過的都寫一遍, 可是... 怎麼可能這麼閒啊? 哈哈...




加入其它天文社團

加入天文社團當然有很多好處, 有同好可以問或討論問題, 還有許多資源可以利用, 不管是論文, 演講, 活動... 甚至討論版的精華區. 有些歷史悠久的社團可能還有名人可以沾光, 比如加入牛頓先生也曾加入過的英國天文協會, 哈哈~ 很酷吧? 而我最大的動因還是因為想參考社團裏的觀測 program, 認證是一回事, 但這些觀測 program 就像專家設計好有系統的觀測計劃, 然後自己可以按表操課, 不會像無頭蒼蠅般亂亂飛. 找了半天, 最後決定繳費加入加拿大的皇家天文社團 RASC... Roger Ceragioli 是這個社團成員, 之前在 BBC Sky at Night 寫素描專欄的 Carol Lakomiak 也是, 還有甘伯串珠的那位甘伯神父生前也是, 還有命名很多暗星雲的 E. E. 巴納德... 反正這些歷史悠久的社團就是有一堆偉人... ^^"

Join RASC