Practice: Transverse Ray Fan Plots 與 Spot Diagram 閱讀心得

常常看見別人 PO 一些關於鏡子品質的測試圖, 有些簡單直覺的, 皮毛懂懂就好, 有些沒人教, 想破頭都不知道是什麼意思... 不過讀這些不知道要幹嘛? 純粹只是越看不懂就越想看懂. 所以就試著邊寫邊想, 寫不出來就再去讀, 方法很笨, 看會不會因此能多了解一些? 所以這一切都是外行人做的外行筆記喔.

資料來源也很怪, 它原來是發表在 www.atmsite.org 的文章, "How to grind and polish a refractor lens and have it work well" 與 "A Survey of Refractive Systems for Astronomical Telescopes", 作者是 Roger Ceragioli, 後來作者自己要求下架, 然後再也沒有更新. 我覺得寫得很好啊, 不曉得為什麼不放了, 真是可惜. 還好有個德國網站留著紀錄, 現在 google 什麼東西都搜得到, 所以最近片片段段讀了一些...

首先要先弄懂一些名詞, 尤其像我這種空間感奇差的人而言, 不過有圖看就容易多了,

(經過專家指正...)
那個 Meridional Plane 叫: 子午面, Sagittal Plane 就叫: 弧矢面"
Transverse Plane 應該指的是不管子午面或弧矢面的橫切面

再來是定義好這個三維座標系統,
想像光線穿過透鏡面中心那條線 (一般看到的圖上畫的 "橫" 線), 它是 Z 軸, 通過透鏡前是 "負" 的, 通過後是 "正", 這條就是 "光軸".

跟 Z 軸正交然後 "上下" 垂直的是 Y 軸; 上是正, 下是負.

X 軸就是由螢幕朝著你來 (負), 以及穿入螢幕進入螢幕內部 (正) 的那條線.

三條線的交點叫 "Vertex", 底下是一個透鏡光線通過的圖...

現在用 Transverse Ray Fan Plots 表示如下:

"PY" 的意思... 經由我的傻瓜解釋, 就是: "入射光線" 在 "Y軸" 的座標.
舉例, 最左邊的那排入射光線就是我指的 "入射光線", 線模擬了很多條, 而 "中間" 那條光線就是 Y=0.

看著入射光線, 從中間那條線逐漸往上走, 對照座標圖, PY 座標就是從中心點 (Y=0) 逐漸向右 ("正數" 方向變大); 反之 (從中間那條線逐漸往下走), 亦然(對照座標圖, PY 座標就是從中心點 Y=0 逐漸向左... "負數" 方向變大)

那 "EY" 呢? E 代表的是 "error", 也就是入射光線經過透鏡之後, 投射到最右邊的短直線上的位置與 Y=0 時的差距.

所以在看看上面兩張圖, 很直覺的可以發現:
當 PY 從中心 (Y=0, 中間那條線) 朝 "正" 的方向移動時, 其對應到最右邊的短直線上的位置 (EY) 就越負越大, 反之亦然.

這個 YZ 平面上的就叫 "tangential ray fan" 或 "meridional ray fan".

有南北向的, 當然也有東西向的. 所以, 還有 XZ 平面喔, 原理一樣, 它叫 "sagittal ray fan",
完整的 Transverse Ray Fan Plots 幾乎都會同時用 tandential 以及 sagittal 兩種圖表示.

上面的透鏡光線路徑圖的例子是典型的 "球差" 現象 (undercorrection), 入射光線離透鏡中心越遠, 折射後的焦點位置誤差就越大 (入射光線在透鏡中心附近的則叫 "paraxial ray").

上面這個例子 tangential 與 sagittle ray fan 完全對稱且一模一樣.
這是軸上 (on-axis) 的例子, 那... 離軸 (off-axis) 情況又如何呢?

我們讓光線有點角度進來... 這是 YZ 平面上的角度, 其實對 XZ 平面是沒影響的.

然後它的 Transverse Ray Fan Plots 長這樣...

可以發現, 下半部的入射光線折射後的焦點誤差 (離Y=0) 越來越大, 對照 tandential ray fan 可看出左半邊那條曲線越來越陡... 所以左右兩邊的曲線沒對稱了, 但是 sagittle ray fan 完全沒受影響, 依然對稱, 這是彗像差的圖形模樣.

常聽人家說 (其實是最早德國科學家 Seidel 先生認真研究出來的, 所以這五種也被叫做 Seidel 像差), 有 5 種第三階 (3rd order) 的像差會影響光學系統品質: 球差, 彗差, 像散差, 畸變, 場曲. (最近翻書才知道所謂第一階 1st order 指的是像: 口徑 (aperture), 焦長... 之類的望遠鏡基本特性, 只看到 1, 3, 5, 7... 為什麼沒有偶數呢?)

++++ 以前寫的 +++++++++++++++++++++
(失焦, 縱向色--longitudinal chromatic 差, 側向色--lateral color 差, 則是算 "1st order"),
3rd order 也有色差, 不過相對不要緊, 比較要緊的是一種因 3rd order 球差造成的色差: 球色差 (spherochromatism) 或叫 "Gauss Error" (高斯誤差?), 這在講消色差或 APO 時就常常要傷腦筋搞定它.
++++++++++++++++++++++++++++++++++

我看了半天覺得 "球差" 真的很基本也重要, 光學設計師不斷的想辦法消除它, 但它又不斷變畫面貌出現, 而且常常伴隨其它種的差一起出現, 比如前面講到的球色差 (spherochromatism). 這種沿著縱像軸 (longitudinal) 無法聚焦成一 "點" 的誤差 (LA)... 我看還有很多測試圖就只拿 LA 來做參考呢.

很好玩的是, 上面那五個所謂 "3rd order" 差, 在 Transverse Ray Fan Plots 都有其數學特徵, 當然也會反映在圖形上. 為什麼?

有一堆數學公式啦... 不過不想了解也沒關係, 能夠辨認其特徵, 再搭配上 Spot Diagram, 就可以對鏡子品質有個大概的了解. (其實書上或網路上隨便找都有 Ray Fan Plot 與各種像差的對照圖, 不用懂也沒關係, 像查字典一樣, 對照到就知道是哪種像差了)

如果數學跟我一樣爛的話, 那就要找一下數學上各階多項式的代表圖形先...

至此, 可以發現, 球差的圖就像是 3 階多項式的圖形, 彗差的 tangential ray fan 是 2 階多項式, 但其 sagittal 是一條直線. 這些的確就是這些 "差" 在 Transverse ray fan 裏的特徵.

至於 spot diagram, 就算毫無背景的我也能粗略了解, 最好光斑都能落在 Airy Disk 的小圈圈內,
因為這是肉眼能分辨的理論極限.

把前面球差的 spot diagram 擺進來:

可以發現, 每一條光線進來後就是一個圈圈, 而圈與圈的間距越來越大, 跟球差的 tansvers ray fan 可以互相參照對應, 幫助理解.

這當然是矯正"前", 為了要講矯正"後", 先說明一下 defocus 這種雞毛蒜皮的差...
也不能這麼講... 因為 defocus 可以解釋很多情形, 雖然很多我還看不懂...

(日後補充的... 2015/03/10)
依現在的了解... undercorrection 與 overcorrection 好像不應該解釋為 "矯正前" 或 "矯正後"; 它其實是兩種不同 "現象" 而已. 我看 undercorrection 的現象是入射光線越 Y 軸上方來的, 會過 focus 投射到 Y 軸越下方 (負 Y 軸越大); 而 overcorrect 的現象是入射光線越 Y 軸上方來的, 不會過 focus, 而是投射到 focus 之前同樣也是正 Y 軸越上方.

沒有球差情況下的 nagtive (inside focus) defocus

Nagtive defocus (inside)

Positive defocus (outside)

defocus 是一階多項式, 圖形是線性的. 上面一個是 "焦點內 (inside)", 下面是 "焦點外 (outside)".
看看焦點內那張圖, 然後比一下它上面那張 "透鏡光線通過圖" 就看得出來為什麼啦. "焦點外 (outside)" 的沒貼完整的 "透鏡光線通過圖", 不過可以想像得出光線通過焦點以後的位置.

但是不管焦內或焦外其 spot diagram 都一樣:

回到球差, 最上面屬下來第二張與第三張圖是 undercorrection 的球差圖, 其實有點像 outside defocus (positive) 的 "樣子", 不管直線或曲線至少方向一樣.

另外一種球差情況是 overcorrection, 就長這樣...

類似 inside defocus (negative) 的 "樣子", 不管直線或曲線至少方向一樣 (原因 Amateur Telescope Optics 裡面有詳細的數學公式說明). 其實可以想像一下光線走的方向, "凹面" 鏡或 "凸透" 鏡常常會形成 inside defocus (negative) 或球差 overcorrection 的樣子.

看著不管是 undercorrection 或 overcorrection 的 "透鏡光線通過圖", 不禁會想... 如果把 focus 移動一下, 比較居中一點, EY 或 EX 應該會都變小吧?

沒錯, 先移動到一個最佳的 focus 位置, 再來看看前面那個 undercorrection 的圖形會變怎樣?

與前一張圖有很大不同喔, 此時的單位刻度是 10 microns (之前的是 50 microns), 所以球差大大被減少了. 不過通常低階球差被消除或減少後, 高階的球差或其它差會伴隨而且混著而來, 5 階, 甚至 7 階, 9 階... 至於原因到現在也沒看懂, 也沒很想懂啦, 哈哈... 消球差的方法應該有很多, 比如說用一正一負的透鏡組合, 或著單片透鏡的話其中一面用成 "非球面"... 等等.

底下是像散差... (2015-03-10: 據 H. Rutten and M. van Venrooij 的聖經 Telescope Optics, Evaluation and Design 一書說, 這是最難了解的一種像差了, 不過它的書上倒畫有一張相當容易了解的圖片說明, 其實我覺得 Roger Ceragioli 寫的還是比較容易了解).

像散, 彗差... 以及其它的是離軸的差. 像散差基本上就是 tangential 與 sagittle 的 focus 在不同位置, 如果站在 tangential 與 sagittle 分別的焦距之間看, 它們的 ray fan 長得像是 defocus; 而且既然是站在兩者 "之間", 那麼一定有一個是 outside 的 defocus, 另一個是 inside 的 defocus. 除非站在正中間, 其 spot diagram 會是圓的 (那個 spot 面積不會縮小, 因為已經是站在對焦 "最佳位置" 上了); 否則讓其中一個平面調到其 best focus, 另一個平面的 defocus 就會更嚴重, 那麼上面 tangential 與 sagittle 的 ray fan 也就不會對稱, 底下的 spot 就會變成橢圓形, 直的橫的都可能.